Zadání XXXI. ročníku

Rozhodněte, zda existuje přirozené číslo, jehož ciferný součet je větší než ciferný součet jeho třetí mocniny.

Nalezněte všechna celočíselná řešení rovnice \(x^3+x^2=y^2+y\).

Ukažte, že přirozené číslo, jehož všechny cifry se rovnají jedné (a má jich více než jednu), není třetí mocnina přirozeného čísla.

Určete minimální součet všech prvků dvacetiprvkové množiny přirozených čísel M, pro kterou platí, že všechny součiny jejich neprázdných podmnožin jsou různé.

Nechť \(p\) je prvočíslo a \(a, b\in\N\) jsou taková, že rovnice \(p^y=x^a-b^a\) má řešení \(x,y\in\Z\) splňující \((x,b)=1\). Ukažte, že platí \(x=b+1\).