Zadání XXXIII. ročníku

Dokažte, že neexistuje konečně mnoho racionálních čísel \(x_1, x_2, \dots, x_n\) takových, že libovolné racionální číslo \(q\) jde napsat ve tvaru \[a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n,\] kde \(a_1, \dots, a_n\) jsou přirozená čísla.

Mějme trojúhelník \(ABC\) a sestrojme mu osy úhlů. Dále každým vrcholem \(A, B, C\) veďme kolmici na příslušnou osu. Dokažte, že každá z os úhlů prochází průsečíkem dvou sestrojených kolmic.

O číslu \(n\) řekneme, že jde o ciferný podsoučin čísla \(x_1x_2\dots x_k\), pokud jde o součin několika jeho cifer, nejméně jedné a nejvýše všech. Např. pro číslo \(743\) jsou všechny jeho ciferné podsoučiny \(84\) (ciferný součin \(743\)), \(28\) (c.s. \(74\)), \(21\) (\(73\)), \(12\) (\(43\)), \(7\) (\(7\)), \(4\) (\(4\)), \(3\) (\(3\)). Dokažte, že libovolné číslo je větší nebo rovno součtu všech jeho ciferných podsoučinů a určete, kdy nastává rovnost. Vyjde-li jeden ciferný podsoučin více různými způsoby, počítáme ho vícekrát.

Dva hráči hrají hru. Na tabuli je \(2027\) vrcholů, hráč 1 v každém kroku vybere dva vrcholy a hráč 2 určí, jestli jsou spojeny hranou, a zaznačí to na tabuli. Takto hra pokračuje, dokud hráč 1 není schopen rozhodnout, zda graf na konci bude obsahovat vrchol, ze kterého vedou alespoň dvě hrany. Pokud se mu to povede, aniž by se zeptal na všechny hrany, vyhrává. Jinak vyhrává hráč 2. Který z hráčů má vítěznou strategii?

(To znamená, že hráč 2 si vzhled grafu vymýšlí za pochodu tak, aby hráče 1 co nejvíce zdržel. Nemá na začátku rozmyšlené, jak graf vypadá.)

Máme krychli \(ABCDEFGH\), ve které bod \(X\) je její střed (průsečík tělesových úhlopříček). Okolím bodu \(K\) nazveme množinu bodů uvnitř krychle, které mají od bodu \(K\) menší vzdálenost než od ostatních definovaných bodů. Určete poměr objemů okolí bodu \(A\) ku okolí bodu \(X\).

Mějme skupinu o \(n \geq 4\) lidech. Každý člověk má právě tři úhlavní nepřátele, přičemž nepřátelství je vzájemný vztah (jestliže Devy je úhlavní nepřítel Tondy, tak Tonda je úhlavní nepřítel Devyho). Cílem je rozdělit tuto množinu na dvě skupiny. Člověk je nespokojený, pokud je ve skupině s více než jedním úhlavním nepřítelem. Dokažte, že lze tuto skupinu lidí rozdělit na dvě skupiny tak, že nikdo není nespokojený.

Ve čtvercové síti \(n \times n\) můžeme vybarvit libovolný počet čtverečků tak, aby nikdy nebyl vybarven celý čtverec \(2 \times 2\). Poté se v každém kroku stanou 4 věci v tomto pořadí:

1. V každém sloupci zmizí nejspodnější vybarvený čtvereček.

2. V každém řádku zmizí vybarvený čtvereček nejvíce vpravo.

3. V každém sloupci zmizí vybarvený čtvereček nejvíce nahoře.

4. V každém řádku zmizí vybarvený čtvereček nejvíce vlevo.

Určete, pro jaká \(n \in \mathbb{N}\) platí, že libovolný vybarvený útvar zmizí po dvou krocích.

Nechť \(n \in \mathbb{N}\). Určete počet čísel \(x\) v intervalu \([0, n-1]\) splňujících \(x^2 \equiv x \pmod{n}\).