Zadání XXXI. ročníku
6. série
Bonusová série
Termín odevzdání: 30. června 2025 23:59
Zadání:
Zbývá: 66 dní
Úloha 1 – Třetí mocnina:
Rozhodněte, zda existuje přirozené číslo, jehož ciferný součet je větší než ciferný součet jeho třetí mocniny.
Úloha 2 – Epileptická křivka:
Nalezněte všechna celočíselná řešení rovnice \(x^3+x^2=y^2+y\).
Úloha 3 – Hodně jedniček:
Ukažte, že přirozené číslo, jehož všechny cifry se rovnají jedné (a má jich více než jednu), není třetí mocnina přirozeného čísla.
Úloha 4 – Množina:
Určete minimální součet všech prvků dvacetiprvkové množiny přirozených čísel M, pro kterou platí, že všechny součiny jejich neprázdných podmnožin jsou různé.