Brněnský korespondenční seminář

Registrace | Nové heslo |

Catalanova čísla

Zadání Pomocný text Řešení Komentář

Úloha 3.1

Opravující: turlandv Počet řešitelů: 19 Průměrný počet bodů: 2.42 (2.3)

Většina z vás si správně všimla, že posloupnosti plusek a mínusek se chovají podobně jako Dyckovy cesty či dobrá uzávorkování, a tak úlohu zdárně vyřešila. Občas se stalo, že si někdo neuvědomil, že mohla být posloupnost i nulová, případně že se vůbec mají použít Catalanova čísla, ale vesměs si s touto úlohou skoro všichni poradili.

Úloha 3.2

Opravující: faba Počet řešitelů: 12 Průměrný počet bodů: 2.46 (1.48)

Většina řešitelů využila znalostí z pomocného textu o počtu dobrých uzávorkování. Vyskytly se spíše drobné chyby ve výpočtech atd., takže vesměs dobrá práce!

Úloha 3.3

Opravující: tomil Počet řešitelů: 5 Průměrný počet bodů: 3 (0.75)

V této úloze bylo dobré, že se dalo celkem jednoduše zkontrolovat (pro malá čísla), zda je vaše odpověď správná. Je tedy užitečné si před odevzdáním zkontrolovat, jestli vaše odpověď odpovídá skutečnosti. Přišlo mi pěkné, že všechna vaše řešení byla úplně jiná – někdo úlohu redukoval na jiný problém, někdo řešení dokázal z definice, atd. Nakonec děkuji Kateřině Matulové za krásné řešení a za její obrázek, který jsem použil ve vzoráku.

Úloha 3.4

Opravující: martínek Počet řešitelů: 3 Průměrný počet bodů: 2.33 (0.35)

Úloha nebyla lehká a sepsat celé řešení dalo docela zabrat. Proto bych rád vyzvednul zejména řešení Vaška Janáčka, který se nezalekl jeho délky a napsal hezké, téměř úplné řešení.

Úloha 3.A

Opravující: Vítek Počet řešitelů: 17 Průměrný počet bodů: 2.63 (2.24)

Na začátek bych chtěl poznamenat, že v úloze se vyskytly dokonce dvě nepřesnosti v zadání a jsem velice překvapen, že to prošlo nejen přes všechny organizátory Brkosu, ale i přes všechny řešitele (nikdo z vás to alespoň nezmínil ve svém řešení). Jednak pro tupý úhel u vrcholu $B$ by se mohlo stát, že bod $X$ nebude definován a jednak v zadání nebylo specifikováno, co je $\alpha$. Vzhledem k tomu, že jste všichni naštěstí řešili tu úlohu, kterou jsme měli na mysli, tak to naštěstí nezpůsobilo žádné obtíže. Většina z vás měla v řešení obrázek a chválím vás za to! Při řešení geometrické úlohy je obrázek v podstatě povinnost! Nyní už k vašim řešením. Drtivá většina z vás měla řešení správně, případně s nějakou drobounkou chybou. Ti, kdo mají za řešení polovinu bodů a méně, v jistou chvíli prohlásili platnost nějaké rovnosti, která podle mě nevyplývala z věcí, které do té doby byly v řešení uvedeny. Úspěšná řešení byla dvou hlavních typů: jednak řešení využívající symterii podle přímky $PX$ (která byla většinou o kapánek elegantnější) a jednak řešení, která nějak vyúhlila, co bylo potřeba. Ve vzoráku najdete podle mě nejrychlejší cestu, pomocí které úlohu řešil pouze Kuba Koňárek.

Úloha 3.B

Opravující: dalik Počet řešitelů: 18 Průměrný počet bodů: 2.32 (2.08)

Úloha dopadla většinou dobře. Mezi nejčastější chybu patřil chybějící důkaz obou implikací. (Na to je dobré myslet pokaždé, když se v zadání objeví ekvivalence.) Bylo potřeba ukázat, že řešení existuje pro $n$, které nedává zbytek 2 po dělení čtyřmi. Také bylo nutné ukázat, že pro každé jiné $n$ neexistuje řešení. To, že existuje řešení pro každé $n$ nedávající zbytek dva po dělení čtyřmi bylo nejjednodušší ukázat tím, že se $x$ a $y$ zapíšou jako celočíselné výrazy obsahující $n$ vyhovující rovnici.

Úloha 3.C

Opravující: Matouš Počet řešitelů: 14 Průměrný počet bodů: 2.14 (1.5)

Úloha byla těžká nejen na představivost, a tak chválím všechny, kteří se nad ní zamysleli. O to více pak gratuluji dvěma zcela úspěšným řešitelům Kateřině Matulové a Václavu Janáčkovi, kteří se poprali s úlohou naprosto rozdílnými přístupy.

Úloha 3.D

Opravující: Tom Atom Počet řešitelů: 2 Průměrný počet bodů: 4.75 (0.47)

Úloha zjevně nebyla snadná, jelikož pouze dva lidé se odvážili poslat její řešení. Je však skvělé, že oba ji vyřešili správně!